Pondělí 24. ledna 2022, svátek má Milena
  • schránka
  • Přihlásit Můj účet
  • Pondělí 24. ledna 2022 Milena

Eulerova konstanta (Co se děje kolem matematiky, fyziky a elektrotechniky 11)

19. 11. 2021 9:35:57
Další pokračování v matematických úvahách a bádáních. Když bylo dříve zmíněno Ludolfovo číslo "pí" přímo se nabízí zaměřit na druhou - možná téměř tak známou konstantu - tedy Eulerovo číslo "e".

Eulerovo číslo "e" je jedním z nejdůležitějších čísel v matematice, souběžně s počátečními čísly 0 a 1 , Ludolfovým číslem "π" a imaginární jednotkou "i" .

Do určité míry má podobný význam jako Ludolfovo číslo "pí" - tedy zjednodušuje matematické výpočty. Ludolfovo číslo je vlastně převodovým poměrem mezi poloměrem kružnice a jejím obvodem. A umožňuje vypočítat obvod kružnice při znalosti poloměru.

Eulerovo číslo má významů ovšem povícero - zjednodušeně možno konstatovat že jeden význam má při ose "x" a jiný význam při ose "y", a v obou případech zjednodušuje matematické výpočty - matematickou funkci vyššího řádu nahrazuje jednodušší matematickou funkcí - a to jednodušší funkcí i z hlediska výpočtu.

Leonhard Paul Euler ( 1707 Basilej, Švýcarsko – 1783 Petrohrad, Rusko), byl průkopnický švýcarský matematik a fyzik. Je považován za nejlepšího matematika 18. století.

Nejznámější pojem - kde se vyskytuje Eulerovo jméno - poměrně známé "e" - neboli Eulerovo číslo - či Eulerova konstanta jsou po Eulerovi ovšem jenom pojmenovány,

Eulerovo číslo někdy bývá také nazýváno Napierova konstanta - i když objevitelem matematického význam švýcarským matematikem Jacob Bernoulli.

Co vlastně Eulerovo číslo vyjadřuje? Eulerovo číslo, je matematická konstanta přibližně rovnající se 2,71828 a může být charakterizována mnoha způsoby. Jedna z definic Eulerovo číslo popisuje jako základ přirozeného logaritmu.

Z geometrického hlediska lze konstatovat - že, při výpočtech souvisejících s Eulerovým číslem se nahrazuje křivka (například parabola) tečnou - tedy přímkou. Z aritmetického hlediska zase možno tvrdit, že za pomocí Eulerovy konstanty, a nejen vlastní Eulerovy konstanty - ale i dalších "přidružených" konstant - z původní matematické funkce vyššího řádu se eliminují komplikovanější matematické úkony - a v nové - náhradní funkci se vyskytují pouze základní matematické úkony - typu sčítání, násobení.

Původní funkce vyššiho řádu "f(x)" s integrálem; náhradní (zjednodušená) funkce "g(x)" pouze se sčítáním a násobením.


"E" při ose "Y" - iNTEGRÁLNÍ A DIFERENCIÁLNÍ POČET (náhrada za násobení a sčítání)

!!! EULEROVO ČISLO "e" SE OVŠEM VE VÝPOČTECH NEVYSKYTUJE SAMO - ALE SOUBĚŽNĚ S KONSTANTOU "c" !!! - která je něčím jako doplněk Eulerova čísla - v některých jednodušších výpočtech se vyskytuje pouze doplńková konstanta "c"

Obě konstanty se můžou vyskytovat v různých formách - třeba jako sčítanec, činitel - nebo exponent.

Při některých zápisech ze místo konstanty "c" používá konstanta "n" - která může vytvářet něco jako rozvoj do nekonečna.

OSA "Y" - INTEGRÁLNÍ A DIFERENCIÁLNÍ POČET
hodnota "e" = 2.71 se odečítá na ose y


Při hodnotě x = 0 y nabývá hodnotu kostanty y = c = 1
konstanta c vlastně popisuje stav - kdy funkce má stejnou hodnotu jako derivace

nebo jinak zapsánopři hodnotě x = 0 y nabývá hodnotu kostanty y = n = 1 (místo konstanty c - která je "jedinečná" je konstanta n která se používá při rozvojích do nekonečna)

Při hodnotě x = 1 y nabývá hodnotu "Eulerovo číslo" y = e = 2,71828 18284 59045 23536...

OSA Y - INTEGRÁL (jedna proměnná "x", ve výpočtech pouze konstanta "c")

náhradní funkce "g" namísto původní funkce "f" obsahující integrál

g(x) + c je rovno integrál f(x)dx

Náhradní funkce g(x) vlastně zjednodušuje výpočet.
souběžně s vlastní náhradní funkcí (v užším smyslu) se ve výpočtech navíc objevuje kondstanta "c", ovšem již zde není integrál.

Náhradní funkce - potažmo Eulerova konstanta "e" (nemusí být při výpočtech vždy zahrnuta) a doplňková konstanta "c" se může vyskytovat při výpočtech derivací nebo integrálů v následujících případech (obě konstanty - "e" Eulerova a "c" doplňková se v tomto případě odečítají na ose Y.

OSA Y - DERIVACE (dvě proměnné "x" a "y", ve výpočtech Eulerova konstanta "e" i doplňková konstanta "c")

Nejjednodušší diferenciální rovnice je

dy/dx = f(x)

V podstatě se hledá náhradní funkce y = g(x) pro kterou platí dy/dx = f(x)

Konkrétní uplatnění je například při výpočtu rychlosti

v = dy/dt nebo v = ds/dt derivace dráhy podle derivace času

jedna proměnná x, náhradní funkce "g" a původní funkce "f", konstanta "c"


OSA "X" - EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE A LOGARITMY
hodnota "e" = 2.71 se odečítá na ose X

Zejména dříve - před rozšířením elektronických kalkulaček patrně známější uplatnění Eulerova čísla - kdy se pro násobení používalo logaritmické pravítko.

Autor: Jan Tomášek | pátek 19.11.2021 9:35 | karma článku: 11.99 | přečteno: 510x

Další články blogera

Jan Tomášek

Industriální Kroměříž - malá elektrárna, továrna na uzeniny (elektřina VN a NN 14)

Malá parní elektrárna, Simonova továrna na uzeniny, a také automobily Simca. Nejen podobně znějící názvy firem mohou být důvodem ke sloučení více námětů v jeden. Pro Kroměříž trochu netypická turistika.

1.1.2022 v 9:43 | Karma článku: 6.94 | Přečteno: 258 | Diskuse

Jan Tomášek

Mechanika 6 - vzlet letounu a diagram XY jako statistika provozu a výkonu

Navozující příspěvek na předchozí příspěvky o mechanice . v pozornosti opět veličiny čas, frekvence, rychlost - a dále síla, moment síly, výkon

15.12.2021 v 10:12 | Karma článku: 4.85 | Přečteno: 243 | Diskuse

Jan Tomášek

Na konečné v Řečkovicích - proč byl u tramavají zaveden stejnosměrný proud a co je měnírna

Kromě informací o stejnosměrné napájecí trakce pro tramvaje, též pojednání o liniových stavbách jako jsou třeba různé rozvody, třeba elektrické - takovou typickou liniovou stavbou je ovšem plynovod nebo ropovod.

10.12.2021 v 11:04 | Karma článku: 9.81 | Přečteno: 599 | Diskuse

Jan Tomášek

Mechanika 5 - tři stupně momentů - statické momenty, moment síly, výkon a čas a rychlost

Další pokračování v bádání nad veličinami mechaniky - a to zejména statiky a dynamiky - především z matematického hlediska

5.12.2021 v 8:49 | Karma článku: 5.44 | Přečteno: 288 | Diskuse

Další články z rubriky Věda

Dana Tenzler

Slunce prolétá obří bublinou

Díky vyhodnocení materiálů, které dodala vesmírná sonda Gaia, odhalili vědci, jak vypadá naše nejbližší kosmické okolí. Nacházíme se v obří bublině. (délka blogu 5 min.)

24.1.2022 v 8:00 | Karma článku: 18.07 | Přečteno: 283 | Diskuse

Tomáš Flaška

Jsem paranoidní, nebo mě Čína fakt chce špehovat?

Taková drobnost. Koupě obyčejného nabíjecího kabelu na telefon přes čínský eshop za pár šupů. Jenomže tady něco nehraje.

23.1.2022 v 12:13 | Karma článku: 31.37 | Přečteno: 1369 | Diskuse

Jan Mestan

Pohádka o putujících deskách

Čím to, že výsledkem rozdílu extrémně extrémně (2x extrémně tam není náhodou) nepřesného modelu pohybů desek a reálného měření GPS má být dokonalé pole deformací uvnitř desky? Chyba je na straně rámce, ve kterém měření provádíme.

22.1.2022 v 19:13 | Karma článku: 11.62 | Přečteno: 474 |

Jan Mestan

Komentář: Souostroví Tonga – tektonický rámec

Na webu Geofyzikálního ústavu Akademie věd České republiky se objevil text k erupci sopky Hunga Tonga–Hunga Haʻapai. Krátce na něj zareaguji.

21.1.2022 v 3:34 | Karma článku: 14.31 | Přečteno: 368 |

Jaroslav Flegr

Proč nebude vakcína na omikron a proč je to vlastně fuk

Máme se očkovat vakcínami proti wuhanskému viru, nebo si máme radši počkat na vakcíny proti novým variantám? Odpověď zní – je třeba se očkovat tím, co je. Ostatně, vakcíny proti jiným variantám nejspíš ani nebudou. Proč?

20.1.2022 v 14:50 | Karma článku: 44.55 | Přečteno: 25937 | Diskuse
Počet článků 242 Celková karma 7.10 Průměrná čtenost 429

Zajímám se o spoustu témat - která se trochu mění podle let a období.

Najdete na iDNES.cz